Математика о судьбе

Алексей Чуличков

Определенность

Что ценят в науке больше всего? По всей видимости, то, что она может предсказывать будущее. Именно по этому признаку большинство людей отделяют «науку» от «ненауки». Если вы говорите: «Возможно, это будет так, хотя, может, и иначе», на вас в лучшем случае посыплются упреки в некомпетентности. В худшем — вам объяснят, что наука абсолютно ничего не знает, всех ученых надо разогнать и гораздо лучше за разъяснениями обратиться к шаманам или астрологам.

Полная определенность научных предсказаний стала идеалом во времена классики. Механика Галилея и Ньютона, законы электромагнетизма, тепловых явлений, оптики и других разделов физики к XIX веку, казалось бы, достигли совершенства: в одних и тех же условиях физические системы демонстрировали с достаточной точностью однозначное поведение, полностью соответствовавшее предсказаниям теории. Масла в огонь подлила математика. Если мир состоит из множества частиц, то его развитие во времени подчинено законам, записанным на строгом языке математических уравнений. А уравнения, которые были известны в эпоху классической науки, обладали удивительным свойством: если знать все положения и скорости частиц в фиксированный момент времени, то можно «увидеть» единственный сценарий, по которому будет происходить их дальнейшее движение! Отсюда — полный фатализм: все, что произойдет в будущем, полностью предопределено настоящим. И не только ваш выигрыш или проигрыш в рулетку, но и жизненный путь всех живых существ и их сообществ.

Это, безусловно, бросало вызов человеку: неужели не сам он решает, как ему поступить, и неужели во всех его горестях и радостях виноват рок? Так идеал науки вступил в конфликт с идеалом человека — творца своей судьбы.

Неопределенность

К счастью, развитие науки в XX веке привело к революционным изменениям во взглядах на мир и его эволюцию. Сначала выяснилось, что мир нельзя свести к системе частиц, имеющих координаты и скорости: процессы, идущие на уровне атомов и более мелких частиц, характеризуются принципиальной неопределенностью, их невозможно предсказать с абсолютной точностью, можно вести речь лишь о вероятности того или иного исхода. Это, если говорить предельно просто, объясняется законом больших чисел: когда на эксперимент оказывает влияние очень большое количество независимых случайных факторов, то его исход становится практически предопределенным. Так, например, при однократном подбрасывании монетки разумный человек не рискнет предсказать выпадение орла, но при подбрасывании 10 миллиардов монеток можно утверждать, что частота выпадения орла будет равна 1/2 со среднеквадратичной погрешностью всего лишь в пять миллионных. В наблюдаемых же событиях нашего мира участвует значительно большее число случайных микроявлений: например, в 12 граммах (одном моле) углерода содержится 6 х 1023 атомов (это так называемое число Авогадро).

Второй удар по идеалу предсказательной силы науки нанесли математики. На границе XIX и XX веков Анри Пуанкаре заметил, что существует целый класс уравнений, описывающих эволюцию механической системы, решение которых не может быть однозначным! Пример такой системы — детская игрушка «китайский бильярд», в которой катящийся шарик натыкается на своем пути на множество столбиков, отскакивает от стенок, и в результате траектория его движения кажется случайной. Столкновение шарика с препятствием вызывает колоссальные математические трудности — приходится рассматривать очень подробные модели, которые оказываются чрезвычайно неустойчивыми: при изменении положения или скорости шарика на сколь угодно малую величину его дальнейшее движение меняется радикально. Достичь же необходимой точности определения параметров модели, чтобы однозначно описать движение, не удается по принципиальным соображениям, в частности следующим из законов микромира.

Управляемый хаос

Как видим, наука серьезно рисковала оказаться в ситуации, с описания которой началась статья: ничего предсказать нельзя и лучше уж гадать на кофейной гуще. Но, к счастью, в конце XX века научились работать и с такими сложными системами. Можно, например, выделить в жизни системы этапы, когда ее движение предопределено и предсказуемо (в случае с «китайским бильярдом» это этап движения шарика по инерции между двумя столкновениями с препятствиями). Но рано или поздно этот этап закончится, и начнется следующий, такой же «спокойный». Самое интересное творится на их стыке — в это время система словно погружается в хаос, в котором теряется значительная доля информации о движении на предыдущем этапе. Иногда этот кризис длится мгновение, иногда заметное время. Попытка описать движение на переходном этапе не приводит к успеху. Оказывается, что в это время система чувствительна к очень малым воздействиям, каждое из которых может поменять ее дальнейшую судьбу. В «китайском бильярде» направление полета шарика после столкновения с препятствием может значительно изменяться при микроскопических изменениях положения шарика в момент удара. Замечательным достижением явилось то, что в ряде ситуаций исследователи научились предсказывать возможные пути движения системы после кризиса: выяснилось, что иногда этих путей не слишком много. Научились даже указывать способы воздействия на систему, в результате которых ее развитие выходит на нужный режим.

Теперь на смену фатализму пришла новая точка зрения: есть этапы, когда твоя воля бессильна и ты находишься в строгих рамках судьбы. Освободиться из этих рамок можно, лишь совершая сверхусилия (например, сообщив системе достаточную энергию извне, ударив по шарику и изменив тем самым направление и скорость его движения). И есть этапы переломные, когда небольшие по сути изменения и подвижки могут резко изменить дальнейшую судьбу (в рассмотренном примере это этапы соударения со столбиками или стенками бильярда).

Конечно, перенос законов движения шарика на человеческую судьбу может показаться рискованным — все-таки математики исследуют уравнения, описывающие те или иные частные системы. Но важно то, что найдена принципиально иная возможность эволюции систем, сочетающая в себе и модель выбора, и реальные ограничения «судьбы». Теория нелинейных систем — математическая дисциплина, и сама по себе она не может предотвратить ни резкого ухудшения обстановки, ни быстрого выхода из застоя. Но как любая теория, она позволяет глубже вникнуть в суть вещей, явлений и процессов реального мира. С точки зрения математики катастрофа и хаос — это не обязательно крушение всех надежд или еще какая-нибудь беда, это этап резкой перестройки системы, качественный скачок ее состояния: неожиданный поворот жизненного пути, социальная революция, экономический бум. И важно в преддверии этих кризисных ситуаций найти нужный путь и не «застрять». А если момент упустишь, то будут тянуться перед тобой длинные пыльные окольные тропы...

Об авторе: Алексей Чуличков, доктор физико-математических наук

Неустойчивые модели долгое время «изгонялись» из науки. Вдохновленный успехами математической физики в точном описании явлений реального мира, французский математик Ж. Адамар даже ввел понятие корректной задачи как такой, для которой решение существует, единственно и устойчиво. Задачи, для которых не выполнялось хотя бы одно из этих требований, он считал неинтересными для практики.

Однако жизнь показала, что наш мир — неустойчив. И сейчас предмет изучения науки — мир, для которого характерны кризисы и обвальные процессы, все чаще происходящие в нашей повседневной жизни; мир, в котором малые и локальные изменения влекут за собой глобальные последствия, а порядок возникает из хаоса; мир, в котором этапы предопределенности и непредсказуемости, сменяя друг друга, образуют причудливую череду событий, происходящих вокруг нас, и мы являемся их частью. Начав с объяснения механизмов разрушения крыла самолета в потоке воздуха, описания рождения циклонов из хаотического теплового движения молекул воздуха, сейчас наука уже пробует моделировать развитие жизни через переломные этапы возникновения новых видов, развитие истории — через социальные революции и т. п.

Глобальность изменений во взглядах на мир и на его описание математическими моделями характеризует следующий исторический факт. В 60-х годах сэр Джон Лайтхил, президент Международной ассоциации математических исследований, посчитал своим долгом принести извинение просвещенному сообществу за то, что в течение 300 лет математики вводили человечество в заблуждение, так как концепция абсолютного детерминизма оказалась далеко не безусловной.

Подписаться на журнал "Человек без границ"